Делюсь опытом по сабжу.
Во всех случаях подразумевается работа под Internet Explorer свежих версий.

Ошибка 403 (ака "пользователь не зарегистрирован" или в этом роде).
Алгоритм регистрации с нуля.

1) Входим в Госуслуги под частным лицом - директором организации. Можно через ЭЦП. (Лучше сразу сделать закладку в браузере.)
2) В разделе "Организации" регистрируем на себя соответствующую организацию.
--- Ждём проверки по ОГРН, до 1 рабочего дня... ---
3) В разделе "Организации" - "Редактировать" заводим - как минимум, на себя (директора) - роли. Раздел "Пенсионный фонд России", подраздел "ЕГИССО", роль "Ответственный за ввод данных" (или как там). Можно зарегать ещё другие роли, если нужно. Можно,  видимо, зарегить эти роли на других сотрудников (не пробовал).
4) ВЫХОДИМ из Госуслуг.
--- Возможно, ещё ждём какое-то время, пока не появится нижеследующий вариант. ---
5) Заново входим в Госуслуги (не в ЕГИССО!) по ЭЦП. Должен появиться вариант входа: как частное лицо или как организация. Выбираем организацию.
6) В новой вкладке открываем раздел "Поставщики информации" сайта ЕГИССО (тоже стоит сделать закладку). Если всё нормально, то сразу откроется кабинет поставщика. (В смысле, больше нигде ничего вводить / входить не потребуется.)
7) Если всеравно выдаёт ошибку 403 - можно пару раз обновить страницу (F5).
===
Далее для работы входим в систему в два приёма:
1) Войти на Госуслуги как организация (через ЭЦП!).
2) Открыть сайт ЕГИССО.
===
(Как программист думаю, что ошибка разработчиков в том, что они при проверке ЭЦП, полученной с сайта Госуслуг, путают организацию и частное лицо.)
===
Если ошибка 403 остаётся - на этом форуме подсказали, что надо удалить роль, а затем создать её заново. В моём случае, ЧСХ, достаточно оказалось просто удалить роль... (но ещё потом пришлось снова её создать).

Ошибка 404 при входе (в т.ч. по вышеописанному алгоритму).

Как подсказали на этом же форуме:
1) Зайти в "Сервис" => "Свойства браузера" => "Общие" => "Удалить файлы".
2) Поставить все галочки, кроме "Журнал" и "Журнал загрузок".
3) Убрать галочку "Сохранить данные избранных веб-сайтов"!
4) OK до упора. Возможно придётся перезагрузить браузер.